In algebra, Pfister's sixteen-square identity is a non-bilinear identity of form
( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + ⋯ + x 16 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 + ⋯ + y 16 2 ) = z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 + ⋯ + z 16 2 It was first proven to exist by H. Zassenhaus and W. Eichhorn in the 1960s, and independently by Pfister around the same time. There are several versions, a concise one of which is
z 1 = x 1 y 1 − x 2 y 2 − x 3 y 3 − x 4 y 4 − x 5 y 5 − x 6 y 6 − x 7 y 7 − x 8 y 8 + u 1 y 9 − u 2 y 10 − u 3 y 11 − u 4 y 12 − u 5 y 13 − u 6 y 14 − u 7 y 15 − u 8 y 16 z 2 = x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 4 y 3 − x 3 y 4 + x 6 y 5 − x 5 y 6 − x 8 y 7 + x 7 y 8 + u 2 y 9 + u 1 y 10 + u 4 y 11 − u 3 y 12 + u 6 y 13 − u 5 y 14 − u 8 y 15 + u 7 y 16 z 3 = x 3 y 1 − x 4 y 2 + x 1 y 3 + x 2 y 4 + x 7 y 5 + x 8 y 6 − x 5 y 7 − x 6 y 8 + u 3 y 9 − u 4 y 10 + u 1 y 11 + u 2 y 12 + u 7 y 13 + u 8 y 14 − u 5 y 15 − u 6 y 16 z 4 = x 4 y 1 + x 3 y 2 − x 2 y 3 + x 1 y 4 + x 8 y 5 − x 7 y 6 + x 6 y 7 − x 5 y 8 + u 4 y 9 + u 3 y 10 − u 2 y 11 + u 1 y 12 + u 8 y 13 − u 7 y 14 + u 6 y 15 − u 5 y 16 z 5 = x 5 y 1 − x 6 y 2 − x 7 y 3 − x 8 y 4 + x 1 y 5 + x 2 y 6 + x 3 y 7 + x 4 y 8 + u 5 y 9 − u 6 y 10 − u 7 y 11 − u 8 y 12 + u 1 y 13 + u 2 y 14 + u 3 y 15 + u 4 y 16 z 6 = x 6 y 1 + x 5 y 2 − x 8 y 3 + x 7 y 4 − x 2 y 5 + x 1 y 6 − x 4 y 7 + x 3 y 8 + u 6 y 9 + u 5 y 10 − u 8 y 11 + u 7 y 12 − u 2 y 13 + u 1 y 14 − u 4 y 15 + u 3 y 16 z 7 = x 7 y 1 + x 8 y 2 + x 5 y 3 − x 6 y 4 − x 3 y 5 + x 4 y 6 + x 1 y 7 − x 2 y 8 + u 7 y 9 + u 8 y 10 + u 5 y 11 − u 6 y 12 − u 3 y 13 + u 4 y 14 + u 1 y 15 − u 2 y 16 z 8 = x 8 y 1 − x 7 y 2 + x 6 y 3 + x 5 y 4 − x 4 y 5 − x 3 y 6 + x 2 y 7 + x 1 y 8 + u 8 y 9 − u 7 y 10 + u 6 y 11 + u 5 y 12 − u 4 y 13 − u 3 y 14 + u 2 y 15 + u 1 y 16 z 9 = x 9 y 1 − x 10 y 2 − x 11 y 3 − x 12 y 4 − x 13 y 5 − x 14 y 6 − x 15 y 7 − x 16 y 8 + x 1 y 9 − x 2 y 10 − x 3 y 11 − x 4 y 12 − x 5 y 13 − x 6 y 14 − x 7 y 15 − x 8 y 16 z 10 = x 10 y 1 + x 9 y 2 + x 12 y 3 − x 11 y 4 + x 14 y 5 − x 13 y 6 − x 16 y 7 + x 15 y 8 + x 2 y 9 + x 1 y 10 + x 4 y 11 − x 3 y 12 + x 6 y 13 − x 5 y 14 − x 8 y 15 + x 7 y 16 z 11 = x 11 y 1 − x 12 y 2 + x 9 y 3 + x 10 y 4 + x 15 y 5 + x 16 y 6 − x 13 y 7 − x 14 y 8 + x 3 y 9 − x 4 y 10 + x 1 y 11 + x 2 y 12 + x 7 y 13 + x 8 y 14 − x 5 y 15 − x 6 y 16 z 12 = x 12 y 1 + x 11 y 2 − x 10 y 3 + x 9 y 4 + x 16 y 5 − x 15 y 6 + x 14 y 7 − x 13 y 8 + x 4 y 9 + x 3 y 10 − x 2 y 11 + x 1 y 12 + x 8 y 13 − x 7 y 14 + x 6 y 15 − x 5 y 16 z 13 = x 13 y 1 − x 14 y 2 − x 15 y 3 − x 16 y 4 + x 9 y 5 + x 10 y 6 + x 11 y 7 + x 12 y 8 + x 5 y 9 − x 6 y 10 − x 7 y 11 − x 8 y 12 + x 1 y 13 + x 2 y 14 + x 3 y 15 + x 4 y 16 z 14 = x 14 y 1 + x 13 y 2 − x 16 y 3 + x 15 y 4 − x 10 y 5 + x 9 y 6 − x 12 y 7 + x 11 y 8 + x 6 y 9 + x 5 y 10 − x 8 y 11 + x 7 y 12 − x 2 y 13 + x 1 y 14 − x 4 y 15 + x 3 y 16 z 15 = x 15 y 1 + x 16 y 2 + x 13 y 3 − x 14 y 4 − x 11 y 5 + x 12 y 6 + x 9 y 7 − x 10 y 8 + x 7 y 9 + x 8 y 10 + x 5 y 11 − x 6 y 12 − x 3 y 13 + x 4 y 14 + x 1 y 15 − x 2 y 16 z 16 = x 16 y 1 − x 15 y 2 + x 14 y 3 + x 13 y 4 − x 12 y 5 − x 11 y 6 + x 10 y 7 + x 9 y 8 + x 8 y 9 − x 7 y 10 + x 6 y 11 + x 5 y 12 − x 4 y 13 − x 3 y 14 + x 2 y 15 + x 1 y 16 If all x i and y i with i > 8 are set equal to zero, then it reduces to Degen's eight-square identity (in blue). The u i are
u 1 = ( a x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 + x 8 2 ) x 9 − 2 x 1 ( b x 1 x 9 + x 2 x 10 + x 3 x 11 + x 4 x 12 + x 5 x 13 + x 6 x 14 + x 7 x 15 + x 8 x 16 ) c u 2 = ( x 1 2 + a x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 + x 8 2 ) x 10 − 2 x 2 ( x 1 x 9 + b x 2 x 10 + x 3 x 11 + x 4 x 12 + x 5 x 13 + x 6 x 14 + x 7 x 15 + x 8 x 16 ) c u 3 = ( x 1 2 + x 2 2 + a x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 + x 8 2 ) x 11 − 2 x 3 ( x 1 x 9 + x 2 x 10 + b x 3 x 11 + x 4 x 12 + x 5 x 13 + x 6 x 14 + x 7 x 15 + x 8 x 16 ) c u 4 = ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + a x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 + x 8 2 ) x 12 − 2 x 4 ( x 1 x 9 + x 2 x 10 + x 3 x 11 + b x 4 x 12 + x 5 x 13 + x 6 x 14 + x 7 x 15 + x 8 x 16 ) c u 5 = ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + a x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 + x 8 2 ) x 13 − 2 x 5 ( x 1 x 9 + x 2 x 10 + x 3 x 11 + x 4 x 12 + b x 5 x 13 + x 6 x 14 + x 7 x 15 + x 8 x 16 ) c u 6 = ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + a x 6 2 + x 7 2 + x 8 2 ) x 14 − 2 x 6 ( x 1 x 9 + x 2 x 10 + x 3 x 11 + x 4 x 12 + x 5 x 13 + b x 6 x 14 + x 7 x 15 + x 8 x 16 ) c u 7 = ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + a x 7 2 + x 8 2 ) x 15 − 2 x 7 ( x 1 x 9 + x 2 x 10 + x 3 x 11 + x 4 x 12 + x 5 x 13 + x 6 x 14 + b x 7 x 15 + x 8 x 16 ) c u 8 = ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 + a x 8 2 ) x 16 − 2 x 8 ( x 1 x 9 + x 2 x 10 + x 3 x 11 + x 4 x 12 + x 5 x 13 + x 6 x 14 + x 7 x 15 + b x 8 x 16 ) c and,
a = − 1 , b = 0 , c = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 + x 8 2 . The identity shows that, in general, the product of two sums of sixteen squares is the sum of sixteen rational squares. Incidentally, the u i also obey,
u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 + u 4 2 + u 5 2 + u 6 2 + u 7 2 + u 8 2 = x 9 2 + x 10 2 + x 11 2 + x 12 2 + x 13 2 + x 14 2 + x 15 2 + x 16 2 No sixteen-square identity exists involving only bilinear functions since Hurwitz's theorem states an identity of the form
( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + ⋯ + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 + ⋯ + y n 2 ) = z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 + ⋯ + z n 2 with the z i bilinear functions of the x i and y i is possible only for n ∈ {1, 2, 4, 8} . However, the more general Pfister's theorem (1965) shows that if the z i are rational functions of one set of variables, hence has a denominator, then it is possible for all n = 2 m . There are also non-bilinear versions of Euler's four-square and Degen's eight-square identities.
