In algebra, Pfister's sixteen-square identity is a non-bilinear identity of form
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
⋯
+
x
16
2
)
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
+
⋯
+
y
16
2
)
=
z
1
2
+
z
2
2
+
z
3
2
+
⋯
+
z
16
2
It was first proven to exist by H. Zassenhaus and W. Eichhorn in the 1960s, and independently by Pfister around the same time. There are several versions, a concise one of which is
z
1
=
x
1
y
1
−
x
2
y
2
−
x
3
y
3
−
x
4
y
4
−
x
5
y
5
−
x
6
y
6
−
x
7
y
7
−
x
8
y
8
+
u
1
y
9
−
u
2
y
10
−
u
3
y
11
−
u
4
y
12
−
u
5
y
13
−
u
6
y
14
−
u
7
y
15
−
u
8
y
16
z
2
=
x
2
y
1
+
x
1
y
2
+
x
4
y
3
−
x
3
y
4
+
x
6
y
5
−
x
5
y
6
−
x
8
y
7
+
x
7
y
8
+
u
2
y
9
+
u
1
y
10
+
u
4
y
11
−
u
3
y
12
+
u
6
y
13
−
u
5
y
14
−
u
8
y
15
+
u
7
y
16
z
3
=
x
3
y
1
−
x
4
y
2
+
x
1
y
3
+
x
2
y
4
+
x
7
y
5
+
x
8
y
6
−
x
5
y
7
−
x
6
y
8
+
u
3
y
9
−
u
4
y
10
+
u
1
y
11
+
u
2
y
12
+
u
7
y
13
+
u
8
y
14
−
u
5
y
15
−
u
6
y
16
z
4
=
x
4
y
1
+
x
3
y
2
−
x
2
y
3
+
x
1
y
4
+
x
8
y
5
−
x
7
y
6
+
x
6
y
7
−
x
5
y
8
+
u
4
y
9
+
u
3
y
10
−
u
2
y
11
+
u
1
y
12
+
u
8
y
13
−
u
7
y
14
+
u
6
y
15
−
u
5
y
16
z
5
=
x
5
y
1
−
x
6
y
2
−
x
7
y
3
−
x
8
y
4
+
x
1
y
5
+
x
2
y
6
+
x
3
y
7
+
x
4
y
8
+
u
5
y
9
−
u
6
y
10
−
u
7
y
11
−
u
8
y
12
+
u
1
y
13
+
u
2
y
14
+
u
3
y
15
+
u
4
y
16
z
6
=
x
6
y
1
+
x
5
y
2
−
x
8
y
3
+
x
7
y
4
−
x
2
y
5
+
x
1
y
6
−
x
4
y
7
+
x
3
y
8
+
u
6
y
9
+
u
5
y
10
−
u
8
y
11
+
u
7
y
12
−
u
2
y
13
+
u
1
y
14
−
u
4
y
15
+
u
3
y
16
z
7
=
x
7
y
1
+
x
8
y
2
+
x
5
y
3
−
x
6
y
4
−
x
3
y
5
+
x
4
y
6
+
x
1
y
7
−
x
2
y
8
+
u
7
y
9
+
u
8
y
10
+
u
5
y
11
−
u
6
y
12
−
u
3
y
13
+
u
4
y
14
+
u
1
y
15
−
u
2
y
16
z
8
=
x
8
y
1
−
x
7
y
2
+
x
6
y
3
+
x
5
y
4
−
x
4
y
5
−
x
3
y
6
+
x
2
y
7
+
x
1
y
8
+
u
8
y
9
−
u
7
y
10
+
u
6
y
11
+
u
5
y
12
−
u
4
y
13
−
u
3
y
14
+
u
2
y
15
+
u
1
y
16
z
9
=
x
9
y
1
−
x
10
y
2
−
x
11
y
3
−
x
12
y
4
−
x
13
y
5
−
x
14
y
6
−
x
15
y
7
−
x
16
y
8
+
x
1
y
9
−
x
2
y
10
−
x
3
y
11
−
x
4
y
12
−
x
5
y
13
−
x
6
y
14
−
x
7
y
15
−
x
8
y
16
z
10
=
x
10
y
1
+
x
9
y
2
+
x
12
y
3
−
x
11
y
4
+
x
14
y
5
−
x
13
y
6
−
x
16
y
7
+
x
15
y
8
+
x
2
y
9
+
x
1
y
10
+
x
4
y
11
−
x
3
y
12
+
x
6
y
13
−
x
5
y
14
−
x
8
y
15
+
x
7
y
16
z
11
=
x
11
y
1
−
x
12
y
2
+
x
9
y
3
+
x
10
y
4
+
x
15
y
5
+
x
16
y
6
−
x
13
y
7
−
x
14
y
8
+
x
3
y
9
−
x
4
y
10
+
x
1
y
11
+
x
2
y
12
+
x
7
y
13
+
x
8
y
14
−
x
5
y
15
−
x
6
y
16
z
12
=
x
12
y
1
+
x
11
y
2
−
x
10
y
3
+
x
9
y
4
+
x
16
y
5
−
x
15
y
6
+
x
14
y
7
−
x
13
y
8
+
x
4
y
9
+
x
3
y
10
−
x
2
y
11
+
x
1
y
12
+
x
8
y
13
−
x
7
y
14
+
x
6
y
15
−
x
5
y
16
z
13
=
x
13
y
1
−
x
14
y
2
−
x
15
y
3
−
x
16
y
4
+
x
9
y
5
+
x
10
y
6
+
x
11
y
7
+
x
12
y
8
+
x
5
y
9
−
x
6
y
10
−
x
7
y
11
−
x
8
y
12
+
x
1
y
13
+
x
2
y
14
+
x
3
y
15
+
x
4
y
16
z
14
=
x
14
y
1
+
x
13
y
2
−
x
16
y
3
+
x
15
y
4
−
x
10
y
5
+
x
9
y
6
−
x
12
y
7
+
x
11
y
8
+
x
6
y
9
+
x
5
y
10
−
x
8
y
11
+
x
7
y
12
−
x
2
y
13
+
x
1
y
14
−
x
4
y
15
+
x
3
y
16
z
15
=
x
15
y
1
+
x
16
y
2
+
x
13
y
3
−
x
14
y
4
−
x
11
y
5
+
x
12
y
6
+
x
9
y
7
−
x
10
y
8
+
x
7
y
9
+
x
8
y
10
+
x
5
y
11
−
x
6
y
12
−
x
3
y
13
+
x
4
y
14
+
x
1
y
15
−
x
2
y
16
z
16
=
x
16
y
1
−
x
15
y
2
+
x
14
y
3
+
x
13
y
4
−
x
12
y
5
−
x
11
y
6
+
x
10
y
7
+
x
9
y
8
+
x
8
y
9
−
x
7
y
10
+
x
6
y
11
+
x
5
y
12
−
x
4
y
13
−
x
3
y
14
+
x
2
y
15
+
x
1
y
16
If all
x
i
and
y
i
with
i
>
8
are set equal to zero, then it reduces to Degen's eight-square identity (in blue). The
u
i
are
u
1
=
(
a
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
9
−
2
x
1
(
b
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
c
u
2
=
(
x
1
2
+
a
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
10
−
2
x
2
(
x
1
x
9
+
b
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
c
u
3
=
(
x
1
2
+
x
2
2
+
a
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
11
−
2
x
3
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
b
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
c
u
4
=
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
a
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
12
−
2
x
4
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
b
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
c
u
5
=
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
a
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
13
−
2
x
5
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
b
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
c
u
6
=
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
a
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
)
x
14
−
2
x
6
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
b
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
c
u
7
=
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
a
x
7
2
+
x
8
2
)
x
15
−
2
x
7
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
b
x
7
x
15
+
x
8
x
16
)
c
u
8
=
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
a
x
8
2
)
x
16
−
2
x
8
(
x
1
x
9
+
x
2
x
10
+
x
3
x
11
+
x
4
x
12
+
x
5
x
13
+
x
6
x
14
+
x
7
x
15
+
b
x
8
x
16
)
c
and,
a
=
−
1
,
b
=
0
,
c
=
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
+
x
8
2
.
The identity shows that, in general, the product of two sums of sixteen squares is the sum of sixteen rational squares. Incidentally, the
u
i
also obey,
u
1
2
+
u
2
2
+
u
3
2
+
u
4
2
+
u
5
2
+
u
6
2
+
u
7
2
+
u
8
2
=
x
9
2
+
x
10
2
+
x
11
2
+
x
12
2
+
x
13
2
+
x
14
2
+
x
15
2
+
x
16
2
No sixteen-square identity exists involving only bilinear functions since Hurwitz's theorem states an identity of the form
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
⋯
+
x
n
2
)
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
+
⋯
+
y
n
2
)
=
z
1
2
+
z
2
2
+
z
3
2
+
⋯
+
z
n
2
with the
z
i
bilinear functions of the
x
i
and
y
i
is possible only for n ∈ {1, 2, 4, 8} . However, the more general Pfister's theorem (1965) shows that if the
z
i
are rational functions of one set of variables, hence has a denominator, then it is possible for all
n
=
2
m
. There are also non-bilinear versions of Euler's four-square and Degen's eight-square identities.
