In these expressions
ϕ
(
x
)
=
1
2
π
e
−
1
2
x
2
is the standard normal probability density function,
Φ
(
x
)
=
∫
−
∞
x
ϕ
(
t
)
d
t
=
1
2
(
1
+
erf
(
x
2
)
)
is the corresponding cumulative distribution function (where erf is the error function) and
T
(
h
,
a
)
=
ϕ
(
h
)
∫
0
a
ϕ
(
h
x
)
1
+
x
2
d
x
is known as the Owen's T function.
Owen has an extensive list of Gaussian-type integrals; only a subset is given below.
∫
ϕ
(
x
)
d
x
=
Φ
(
x
)
+
C
∫
x
ϕ
(
x
)
d
x
=
−
ϕ
(
x
)
+
C
∫
x
2
ϕ
(
x
)
d
x
=
Φ
(
x
)
−
x
ϕ
(
x
)
+
C
∫
x
2
k
+
1
ϕ
(
x
)
d
x
=
−
ϕ
(
x
)
∑
j
=
0
k
(
2
k
)
!
!
(
2
j
)
!
!
x
2
j
+
C
∫
x
2
k
+
2
ϕ
(
x
)
d
x
=
−
ϕ
(
x
)
∑
j
=
0
k
(
2
k
+
1
)
!
!
(
2
j
+
1
)
!
!
x
2
j
+
1
+
(
2
k
+
1
)
!
!
Φ
(
x
)
+
C
In these integrals, n!! is the double factorial: for even n it is equal to the product of all even numbers from 2 to n, and for odd n it is the product of all odd numbers from 1 to n, additionally it is assumed that 0!! = (−1)!! = 1.
∫
ϕ
(
x
)
2
d
x
=
1
2
π
Φ
(
x
2
)
+
C
∫
ϕ
(
x
)
ϕ
(
a
+
b
x
)
d
x
=
1
t
ϕ
(
a
t
)
Φ
(
t
x
+
a
b
t
)
+
C
,
t
=
1
+
b
2
∫
x
ϕ
(
a
+
b
x
)
d
x
=
−
1
b
2
(
ϕ
(
a
+
b
x
)
+
a
Φ
(
a
+
b
x
)
)
+
C
∫
x
2
ϕ
(
a
+
b
x
)
d
x
=
1
b
3
(
(
a
2
+
1
)
Φ
(
a
+
b
x
)
+
(
a
−
b
x
)
ϕ
(
a
+
b
x
)
)
+
C
∫
ϕ
(
a
+
b
x
)
n
d
x
=
1
b
n
(
2
π
)
n
−
1
Φ
(
n
(
a
+
b
x
)
)
+
C
∫
Φ
(
a
+
b
x
)
d
x
=
1
b
(
(
a
+
b
x
)
Φ
(
a
+
b
x
)
+
ϕ
(
a
+
b
x
)
)
+
C
∫
x
Φ
(
a
+
b
x
)
d
x
=
1
2
b
2
(
(
b
2
x
2
−
a
2
−
1
)
Φ
(
a
+
b
x
)
+
(
b
x
−
a
)
ϕ
(
a
+
b
x
)
)
+
C
∫
x
2
Φ
(
a
+
b
x
)
d
x
=
1
3
b
3
(
(
b
3
x
3
+
a
3
+
3
a
)
Φ
(
a
+
b
x
)
+
(
b
2
x
2
−
a
b
x
+
a
2
+
2
)
ϕ
(
a
+
b
x
)
)
+
C
∫
x
n
Φ
(
x
)
d
x
=
1
n
+
1
(
(
x
n
+
1
−
n
x
n
−
1
)
Φ
(
x
)
+
x
n
ϕ
(
x
)
+
n
(
n
−
1
)
∫
x
n
−
2
Φ
(
x
)
d
x
)
+
C
∫
x
ϕ
(
x
)
Φ
(
a
+
b
x
)
d
x
=
b
t
ϕ
(
a
t
)
Φ
(
x
t
+
a
b
t
)
−
ϕ
(
x
)
Φ
(
a
+
b
x
)
+
C
,
t
=
1
+
b
2
∫
Φ
(
x
)
2
d
x
=
x
Φ
(
x
)
2
+
2
Φ
(
x
)
ϕ
(
x
)
−
1
π
Φ
(
x
2
)
+
C
∫
e
c
x
ϕ
(
b
x
)
n
d
x
=
e
c
2
2
n
b
2
b
n
(
2
π
)
n
−
1
Φ
(
b
2
x
n
−
c
b
n
)
+
C
,
b
≠
0
,
n
>
0
∫
−
∞
∞
x
2
ϕ
(
x
)
n
d
x
=
1
n
3
(
2
π
)
n
−
1
∫
−
∞
0
ϕ
(
a
x
)
Φ
(
b
x
)
d
x
=
1
2
π
|
a
|
(
π
2
−
arctan
(
b
|
a
|
)
)
∫
0
∞
ϕ
(
a
x
)
Φ
(
b
x
)
d
x
=
1
2
π
|
a
|
(
π
2
+
arctan
(
b
|
a
|
)
)
∫
0
∞
x
ϕ
(
x
)
Φ
(
b
x
)
d
x
=
1
2
2
π
(
1
+
b
1
+
b
2
)
∫
0
∞
x
2
ϕ
(
x
)
Φ
(
b
x
)
d
x
=
1
4
+
1
2
π
(
b
1
+
b
2
+
arctan
(
b
)
)
∫
0
∞
x
ϕ
(
x
)
2
Φ
(
x
)
d
x
=
1
4
π
3
∫
0
∞
Φ
(
b
x
)
2
ϕ
(
x
)
d
x
=
1
2
π
(
arctan
(
b
)
+
arctan
1
+
2
b
2
)
∫
−
∞
∞
Φ
(
a
+
b
x
)
2
ϕ
(
x
)
d
x
=
Φ
(
a
1
+
b
2
)
−
2
T
(
a
1
+
b
2
,
1
1
+
2
b
2
)
∫
−
∞
∞
x
Φ
(
a
+
b
x
)
2
ϕ
(
x
)
d
x
=
2
b
1
+
b
2
ϕ
(
a
t
)
Φ
(
a
1
+
b
2
1
+
2
b
2
)
∫
−
∞
∞
Φ
(
b
x
)
2
ϕ
(
x
)
d
x
=
1
π
arctan
1
+
2
b
2
∫
−
∞
∞
x
ϕ
(
x
)
Φ
(
b
x
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
x
ϕ
(
x
)
Φ
(
b
x
)
2
d
x
=
b
2
π
(
1
+
b
2
)
∫
−
∞
∞
Φ
(
a
+
b
x
)
ϕ
(
x
)
d
x
=
Φ
(
a
1
+
b
2
)
∫
−
∞
∞
x
Φ
(
a
+
b
x
)
ϕ
(
x
)
d
x
=
b
t
ϕ
(
a
t
)
,
t
=
1
+
b
2
∫
0
∞
x
Φ
(
a
+
b
x
)
ϕ
(
x
)
d
x
=
b
t
ϕ
(
a
t
)
Φ
(
−
a
b
t
)
+
1
2
π
Φ
(
a
)
,
t
=
1
+
b
2
∫
−
∞
∞
ln
(
x
2
)
1
σ
ϕ
(
x
σ
)
d
x
=
ln
(
σ
2
)
−
γ
−
ln
2
≈
ln
(
σ
2
)
−
1.27036
