Suvarna Garge (Editor)

General matrix notation of a VAR(p)

Updated on
Edit
Like
Comment
Share on FacebookTweet on TwitterShare on LinkedInShare on Reddit

This page shows the details for different matrix notations of a vector autoregression process with k variables.

Contents

Var(p)

y t = c + A 1 y t − 1 + A 2 y t − 2 + ⋯ + A p y t − p + e t ,

where each y i is a vector of length k and each A i is a k × k matrix.

Large matrix notation

[ y 1 , t y 2 , t ⋮ y k , t ] = [ c 1 c 2 ⋮ c k ] + [ a 1 , 1 1 a 1 , 2 1 ⋯ a 1 , k 1 a 2 , 1 1 a 2 , 2 1 ⋯ a 2 , k 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a k , 1 1 a k , 2 1 ⋯ a k , k 1 ] [ y 1 , t − 1 y 2 , t − 1 ⋮ y k , t − 1 ] + ⋯ + [ a 1 , 1 p a 1 , 2 p ⋯ a 1 , k p a 2 , 1 p a 2 , 2 p ⋯ a 2 , k p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a k , 1 p a k , 2 p ⋯ a k , k p ] [ y 1 , t − p y 2 , t − p ⋮ y k , t − p ] + [ e 1 , t e 2 , t ⋮ e k , t ]

Equation by regression notation

Rewriting the y variables one to one gives:

y 1 , t = c 1 + a 1 , 1 1 y 1 , t − 1 + a 1 , 2 1 y 2 , t − 1 + ⋯ + a 1 , k 1 y k , t − 1 + ⋯ + a 1 , 1 p y 1 , t − p + a 1 , 2 p y 2 , t − p + ⋯ + a 1 , k p y k , t − p + e 1 , t

y 2 , t = c 2 + a 2 , 1 1 y 1 , t − 1 + a 2 , 2 1 y 2 , t − 1 + ⋯ + a 2 , k 1 y k , t − 1 + ⋯ + a 2 , 1 p y 1 , t − p + a 2 , 2 p y 2 , t − p + ⋯ + a 2 , k p y k , t − p + e 2 , t

⋮

y k , t = c k + a k , 1 1 y 1 , t − 1 + a k , 2 1 y 2 , t − 1 + ⋯ + a k , k 1 y k , t − 1 + ⋯ + a k , 1 p y 1 , t − p + a k , 2 p y 2 , t − p + ⋯ + a k , k p y k , t − p + e k , t

Concise matrix notation

One can rewrite a VAR(p) with k variables in a general way which includes T+1 observations y 0 through y T

Y = B Z + U

where:

Y = [ y p y p + 1 ⋯ y T ] = [ y 1 , p y 1 , p + 1 ⋯ y 1 , T y 2 , p y 2 , p + 1 ⋯ y 2 , T ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ y k , p y k , p + 1 ⋯ y k , T ] B = [ c A 1 A 2 ⋯ A p ] = [ c 1 a 1 , 1 1 a 1 , 2 1 ⋯ a 1 , k 1 ⋯ a 1 , 1 p a 1 , 2 p ⋯ a 1 , k p c 2 a 2 , 1 1 a 2 , 2 1 ⋯ a 2 , k 1 ⋯ a 2 , 1 p a 2 , 2 p ⋯ a 2 , k p ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c k a k , 1 1 a k , 2 1 ⋯ a k , k 1 ⋯ a k , 1 p a k , 2 p ⋯ a k , k p ] Z = [ 1 1 ⋯ 1 y p − 1 y p ⋯ y T − 1 y p − 2 y p − 1 ⋯ y T − 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y 0 y 1 ⋯ y T − p ] = [ 1 1 ⋯ 1 y 1 , p − 1 y 1 , p ⋯ y 1 , T − 1 y 2 , p − 1 y 2 , p ⋯ y 2 , T − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y k , p − 1 y k , p ⋯ y k , T − 1 y 1 , p − 2 y 1 , p − 1 ⋯ y 1 , T − 2 y 2 , p − 2 y 2 , p − 1 ⋯ y 2 , T − 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y k , p − 2 y k , p − 1 ⋯ y k , T − 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y 1 , 0 y 1 , 1 ⋯ y 1 , T − p y 2 , 0 y 2 , 1 ⋯ y 2 , T − p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y k , 0 y k , 1 ⋯ y k , T − p ]

and

U = [ e p e p + 1 ⋯ e T ] = [ e 1 , p e 1 , p + 1 ⋯ e 1 , T e 2 , p e 2 , p + 1 ⋯ e 2 , T ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e k , p e k , p + 1 ⋯ e k , T ] .

One can then solve for the coefficient matrix B (e.g. using an ordinary least squares estimation of Y ≈ B Z ).

References

General matrix notation of a VAR(p) Wikipedia
(Text) CC BY-SA